Entri Populer

Profil Penulis

Selasa, 28 Mei 2013

INGKARAN, KONJUNGSI, DISJUNGSI, IMPLIKASI DAN BIIMPLIKASI

B.2 Ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi

b. Uraian Materi

1). Ingkaran atau Negasi

Ingkaran atau negasi biasanya digunakan untuk menyangkal atau kebalikan dari suatu
pernyataan. Untuk menyangkal atau membuat negasi dari suatu pernyataan biasanya
dengan cara membubuhkan kata “tidak benar” di depan kalimat atau dengan

menyisipkan kata “tidak atau bukan” di dalam pernyataan tersebut. Pernyataan baru yang didapat dengan cara seperti itu disebut negasi atau ingkaran dari suatu pernyataan semula.

Jika p adalah suatu pernyataan, maka ingkaran atau negasi dari pernyataan tersebut dituliskan dengan menggunakan lambang berikut ini

~ p

dan dibaca “tidak benar p”atau “bukan p”

Contoh 7

Tentukan ingkaran atau negasi dari pernyataan-pernyataan berikut!

a. p : Jakarta ibukota Indonesia

~p : Tidak benar Jakarta ibukota Indonesia ~p : Jakarta bukan ibukota Indonesia

b. q : 6 < 3

~q : Tidak benar 6 < 3 ~q : 6 ≥ 3

c. r : cos2x + sin2x = 1

~r : Tidak benar cos2x + sin2x = 1 ~r : cos2x + sin2x ≠ 1

d. s : 2 - 3 x 4 < 10

~s : Tidak benar 2 - 3 x 4 < 10 ~s : 2 - 3 x 4 > 10

Bila kita perhatikan pada contoh di atas, tampak bahwa jika suatu pernyataan bernilai
benar (contoh 7a dan 7c) maka akan mempunyai ingkaran bernilai salah. Sebaliknya
jika suatu pernyataan benilai salah (contoh 7b) maka akan mempunyai ingkaran

bernilai benar. Sehingga nilai kebenaran dari suatu ingkaran selalu berlawanan dengan nilai kebenaran pernyataan semula.

Dari contoh tersebut, kita dapat menentukan hubungan antara nilai kebenaran suatu ingkaran dengan pernyataan mula-mulanya berikut ini.

Nilai kebenaran Tabel kebenaran

Jika p suatu pernyataan benilai benar, maka ~p p ~p

bernilai salah dan sebaliknya jika p bernilai salah B S

maka ~p bernilai benar. S B

Secara matematis, hubungan antara suatu pernyataan dengan negasinya dapat digambarkan dalam bentuk himpunan, seperti contoh berikut ini.

Contoh 8

Misalkan sebuah himpunan A = {1, 3, 5, 7} dengan semesta pembicaraan adalah himpunan S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, maka komplemen dari A adalah himpunan yang mempunyai elemen A′= { 0, 2, 4, 6, 8, 9, 10}. Dalam bentuk himpunan dilukiskan sebagai berikut:

S 8 10

A 7 1

0 3 5

2

6

A' 9

4

Dari Contoh tersebut jelaslah bahwa negasi dari p adalah merupakan komplemen p
jika dinyatakan dalam bentuk himpunan atau diagram Venn adalah sebagai berikut.

p = {x| p(x)}, p benar jika x ∈ P

p’ = {x|~ p(x)}, ~ p benar jika x ∈ P’ atau
salah jika x ∈ P

2). Pernyataan Majemuk

S

P
P'

Pernyataan majemuk atau kalimat majemuk adalah suatu pernyataan baru yang
tersusun atas dua atau lebih pernyataan dengan menggunakan kata hubung logika,
yaitu dan, atau, tetapi dan sebagainya. Pernyataan tunggal pembentuk pernyataan
majemuk tersebut disebut dengan komponen-komponen atau sub pernyataan.

Contoh 9

a. Bandung ibukota provinsi Jawa Barat dan terletak di Pulau Jawa.

Komponen pembentuk kalimat majemuk tersebut adalah Bandung Ibukota Jawa Barat dan Bandung terletak di Jawa Barat.

b. 2 + 3 = 5 atau 2 - 1 > 5.

Komponen pembentuk kalimat majemuknya adalah 2 + 3 = 5 dan 2 - 1>5.

c. Jika ikan bernapas dengan insang maka manusia dengan paru-paru.

Komponen pembentuk kalimat majemuk tersebut adalah ikan bernapas dengan insang dan manusia bernapas dengan paru-paru.

3). Konjungsi

Dua pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan meggunakan kata hubung “dan” untuk membentuk suatu pernyataan majemuk yang disebut konjungsi dari pernyataan p dan q. Konjungsi dari pernyataan p dan q dinyatakan dengan:

p ∧ q dibaca “ p dan q”.

Contoh 10

a. p : Jakarta adalah Ibukota Indonesia.

q : Jakarta terletak di pulau Jawa.

p ∧ q : Jakarta adalah Ibukota Indonesia dan terletak di pulau Jawa.

 

8 Matematika XI SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi

b. p : 2 adalah bilangan prima.

q : 2 adalah bilangan ganjil.

p ∧ q : 2 adalah bilangan prima dan bilangan ganjil.

Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk konjungsi dari dua pernyataan p dan q

ditentukan sebagai berikut:

Nilai Kebenaran

Jika p bernilai benar dan q bernilai benar maka p ∧ q bernilai benar. Jika salah satu pernyataan bernilai salah maka p ∧ q bernilai salah.

Tabel Kebenaran

p q p ∧ q

B B B

B S S

S B S
S S S

Contoh 11

a. p : Jakarta adalah Ibukota Indonesia. (Benar)

q : Jakarta terletak di pulau Jawa. (Benar)

p ∧ q: Jakarta adalah Ibukota Indonesia dan terletak di pulau Jawa. (Benar)

b. p : 2 adalah bilangan prima.(Benar)

q : 2 adalah bilangan ganji.(Salah)

p ∧ q: 2 adalah bilangan prima dan bilangan ganjil.(Salah)

c. p : Harimau adalah binatang buas. (Benar)

q : Cos(-a) = cos a.(Benar)

p ∧ q: Harimau adalah binatang buas dan cos(-a) = cos a.(Benar)

Pernyataan majemuk konjungsi dapat digambarkan dengan diagram Venn sebagai

berikut.

p = {x | p(x) } dan p benar jika x ∈ P.

q = {x | q(x) } dan q benar jika x ∈ Q. PIQ

p ∩ q = {x| p(x) ∧ q(x)} dan p ∧ q benar jika x ∈ P ∩ Q.

Dalam pernyataan majemuk tidak diharuskan adanya hubungan antara pernyataanpernyataan tunggalnya. Nilai kebenaran pernyataan majemuk tidak ditentukan oleh adanya hubungan melainkan berdasarkan pada definisi (tabel kebenaran).

Contoh 12

Tentukan harga x agar konjungsi dari dua pernyataan berikut bernilai benar

a. p(x) : 2x + 1 = 3

q : 4 > 2

b. p(x) : x adalah bilangan prima kurang dari 5.

q : Indonesia terletak di Asia Tenggara.

Jawab:

a. Konjungsi dua pernyataan bernilai benar jika komponen dua pernyataan tunggalnya
bernilai benar. q bernilai benar agar konjungsi bernilai benar maka p harus bernilai
benar, sehingga x = 1.

b. Agar p dan q bernilai benar maka x adalah himpunan yang elemennya {2, 3}.

clip_image028clip_image014[1]clip_image030

BAB I Logika Matematika 9

1. Buatlah ingkaran dari kalimat berikut ini!

a. Semarang adalah ibukota Jawa Tengah.

b. Panjang diameter sebuah lingkaran adalah dua kali jari-jarinya.

c. 2 + 3 < 1.

d. 2 + 1 = 5.

e. 4 bukan merupakan bilangan prima.

f. Jajaran genjang tidak memiliki simetri setengah putar.

g. HCl merupakan rumus melekul dari asam klorida.

h. Tidak benar bahwa 23 = 9.

i. Semua ikan bernapas dengan insang

j. Ada bilangan cacah yang bukan bilangan asli.

2. Tentukan pernyataan tunggal dari pernyataan majemuk di bawah ini!

a. Dua garis berpotongan dan saling tegak lurus.

b. Segi tiga siku-siku dan sama kaki.

c. Bintang film itu sangat cantik tetapi tidak ramah.

d. Dia gadis yang cantik dan lemah lembut.

e. Setiap segitiga sama kaki mempunyai dua sudut yang sama besar dan dua sisi
yang sama panjang.

3. Diketahui p : Saya lulus ujian

q : Saya sangat bahagia.

Buatlah pernyataan baru dengan ketentuan berikut ini!

a. ~ p c. p ∧ q e. p ∧ ~ q

b. ~ q d. ~ p ∧ q f. ~ p ∧ ~ q

4. p, q, dan r masing-masing merupakan sebuah pernyataan. Buatlah tabel kebenaran

yang menyatakan pernyataan majemuk berikut ini!

a. ~(p ∧ q) c. p ∧ ~ q e. (p ∧ ~ q) ∧ ~ r

b. ~ p ∧ q d. ~ p ∧ ~ q f. (p ∧ ~ r) ∧ q

5. Jika p : “ Hari ini cuaca cerah” dan q : “Matahari bersinar terang”. Tulislah masing-
masing pernyataan di bawah ini dengan menggunakan lambang p dan q.

a. Hari ini cuaca cerah dan matahari bersinar terang.

b. Hari ini cuaca tidak cerah tetapi matahari bersinar cerah.

c. Hari ini cuaca tidak cerah dan matahari tidak bersinar.

d. Tidak benar matahari bersinar cerah tetapi cuaca cerah.

e. Tidak benar hari ini cuaca tidak cerah dan matahari tidak bersinar terang.

6. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut ini!

a Kota Cirebon terletak di Jawa Barat dan Jepang di Asia Tenggara. b 5 adalah bilangan prima dan 4 adalah bilangan genap.

c Δ sama sisi memiliki 3 sumbu simetri dan persegi memiliki 6 sumbu simetri.

d 50 adalah habis dibagi 5 dan 3.

clip_image032clip_image034clip_image035

10 Matematika XI SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi

7. Diketahui p adalah pernyataan bernilai benar, q bernilai salah dan r bernilai benar.

Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut ini:

a. ~(p ∧ q) c. p ∧ ~ q e. (p ∧ ~ q) ∧ ~ r

b. ~ p ∧ q d. ~ p ∧ ~ q f. (p ∧ ~ r) ∧ q

8. Tentukan harga x agar konjungsi dari pernyataan p dan q bernilai benar.

a. p(x) : 2 - 3x = 6 ; q : Indonesia terbagi dalam 33 provinsi.

b. p : 2 > 1 ; q(x) : x adalah bilangan cacah kurang dari 4.

c. p: Persegi mempunyai empat sisi sama panjang ; q(x) :{x|x < 3, x ∈ A}.

d. p(x) : x2 - 3x - 10 = 0 ; q : Paris ibukota Perancis.

4). Disjungsi

Dua pernyataan p dan q dapat digabung dengan menggunakan kata hubung “atau”
untuk membentuk sebuah pernyataan baru. Pernyataan majemuk ini disebut dengan
disjungsi. Disjungsi dari pernyataan p dan q ditulis “p ∨ q” dan dibaca “p disjungsi q
atau “p atau q”.

Dalam kehidupan sehari-hari kata “atau” berarti salah satu atau kedua-duanya, dapat pula salah satu tetapi tidak kedua-duanya.

Contoh 13

a. p : 5 merupakan bilangan ganjil

q : Kalimantan adalah pulau terbesar di Indonesia

p ∨ q: 5 merupakan bilangan ganjil atau Kalimantan adalah pulau terbesar di

Indonesia.

b. p : Dua garis saling sejajar

q : Dua garis saling berpotongan

p ∨ q : Dua garis saling sejajar atau saling berpotongan.

Nilai kebenaran pernyataan majemuk disjungsi dari dua pernyataan p dan q

ditentukan sebagai berikut:

Nilai Kebenaran

Jika p bernilai benar dan q bernilai benar atau p dan q kedua-duanya benar maka p ∨ q bernilai benar. Jika tidak demikian maka p ∨ q bernilai salah. Dengan kata lain disjungsi dari dua pernyataan salah hanya jika kedua komponennya salah.

Tabel Kebenaran

p q p ∨ q

B B B

B S B

S B B
S S S

Contoh 14

a. p : Jakarta adalah kota terbesar di Indonesia. (Benar)

q : Jakarta terletak di pulau Jawa. (Benar)

p ∨ q : Jakarta kota terbesar di Indonesia atau terletak di pulau Jawa. (Benar)

b. p : 3 adalah bilangan prima.(Benar)

q : 3 adalah bilangan genap.(Salah)

p ∨ q : 3 adalah bilangan prima atau bilangan genap.(Benar)

clip_image028[1]clip_image014[2]clip_image037

BAB I Logika Matematika 11

c. p : Buaya adalah bukan binatang melata .(Salah)

q : Cos(-a) = -cos a.(Salah)

p ∨ q : Buaya adalah bukan binatang melata atau cos(-a) = -cos a.(Salah)

Pernyataan majemuk disjungsi dapat digambarkan dengan diagram Venn sebagai

berikut.

p = {x | p(x) } dan p benar jika x ∈ P.

q = {x | q(x) } dan q benar jika x ∈ Q.

p ∪ q = {x| p(x) ∨ q(x)} dan p ∨ q benar jika x ∈ P ∪ Q.

Dalam pernyataan majemuk tidak diharuskan adanya hubungan antara pernyataanpernyataan tunggalnya. Nilai kebenaran pernyataan majemuk tidak ditentukan oleh adanya hubungan melainkan berdasarkan pada definisi (tabel kebenaran).

Contoh 15

Tentukan harga x agar disjungsi dari dua pernyataan berikut bernilai benar

a. p(x) : 2x + 1 = 3

q : 4 > 2

b. p(x) : x adalah bilangan asli kurang dari 3.

q : India adalah anggota ASEAN.

Jawab:

a. Disjungsi dua pernyataan bernilai benar jika salah satu atau kedua pernyataan
tunggalnya bernilai benar. Karena q bernilai benar maka disjungsi tersebut selalu
bernilai benar dan tidak tergantung pada nilai kebenaran p.

b. Agar p v q bernilai benar maka x adalah himpunan yang elemennya {1, 2}.

BACA JUGA

Ditulis Oleh : Hendra Arrasyid // 17.25

0 komentar:

Poskan Komentar